УДК 303.71
К.Е. Малахов, Главный специалист по геологии и гидрогеологии КИНТЕХ.
Оценка соответствия контролируемых показателей установленным требованиям составляет важную часть информационно-аналитического производственного обеспечения в разных отраслях хозяйственной деятельности. Эта работа, включающая в обязательном порядке учет рисков нарушения установленных требований, основательнее всего осуществляется в авиакосмической сфере. Во многих отраслях она выполняется неудовлетворительно, в безрисковом режиме, хотя ошибки, связанные с нестабильностью контролируемых показателей, и там не менее опасны, поскольку неудовлетворительное качество продукции несет риски вреда здоровью населения целых регионов.

Ключевые слова: оценка соответствия, контролируемые показатели, риски, статистическая информация, закон распределения, доверительная вероятность.

Случайные факторы, влияющие на свойства продукции, приводят к тому, что оценить истинные значения искомых показателей по единичным или нескольким результатам измерений затруднительно. Есть, конечно, шансы, что действительно (истинное) значение контролируемого показателя находится в окрестности установленного норматива, однако это не отменяет возможности ошибочной оценки соответствия, вероятность которой тем меньше, чем различие больше. Пусть, например, требуется выяснить достоверность заключения о соответствии мяса, молока, воды установленному требованию x_доп по результатам единичного измерения показателя x, плотность распределения которого подчиняется нормальному закону со среднеквадратическим отклонением σ. Из рис. 1 следует, что истинное (действительное) значение случайной величины с вероятностью 2⋅34,1% = 68,2% лежит в диапазоне ±σ, а риск выхода за границы этого диапазона — 31,8%. Риск выхода за границы более широкого диапазона ±2σ меньше: 1-(2⋅13,6%+68,2%) = 4,6%. При этом делается вывод, что x < x_доп. Если же принимается диапазон ±3σ, то этот вывод неверен, хотя вероятность нарушения требований здесь очень мала. Уровень риска не превышает 4%. На практике же эта величина намного больше и часто превышает 10%, тогда как допустимые риски нарушения авиакосмических нормативов не превышают стотысячных долей процента.

Корректное нормативно-аналитическое обеспечение предполагает использование сопоставимых методов сбора, обработки и анализа статистической информации, методологической основой которого являются теория оценивания и проверка статистических гипотез на основе известных законов распределения вероятностей контролируемых показателей. Выбор закона распределения в практических приложениях обычно осуществляется с опорой на некоторые априорные данные, что позволяет при получении экспериментальных данных проверять адекватность выбранной статистической модели.

Важными характеристиками формы закона распределения являются математическое ожидание x₀ и параметр разброса относительно x₀ — дисперсия σ² или их точечные оценки:

где n — объем выборки, x_i — конкретные измерения контролируемого показателя.

В общем случае лица, принимающие решения, выбирают ширину интервала в зависимости от того, какой уровень доверия полученным результатам считается допустимым или какой риск ошибки является приемлемым. Для этого используется интервальная оценка соответствия контролируемых показателей установленным требованиям в виде:

где y — доверительная вероятность, такая, что Вер(x_н ≤ x₀ ≤ x_в) = y;
x_н = x̂ + t_(1-y)/S — нижняя доверительная граница; x_в = x̂ + t_(1+y)/S — верхняя доверительная граница;
t_(1-y) — табулированный коэффициент, зависящий от объема выборки и определяющий величину доверительного интервала.

В границы доверительного интервала, если он слишком широкий, может попадать и норматив (x_доп). Поэтому при анализе безопасности и качества необходимо учитывать риск такого события, снижение которого требует увеличения объема измерений. В этом заключаются трудности повышения достоверности оценки соответствия при выборочных измерениях, требующих допускового подхода к анализу результатов. Из табл. 1 видно, в частности, что установленные требования будут выполняться в 95% случаев, если результат измерения находится на уровне x_доп - 2S√n, и в 80% — если на уровне x_доп - 1,4S√n или несколько выше при повышении n.

В практике контроля показателей безопасности и качества вместо интервальной оценки, требующей риск-ориентированного подхода, часто используется «безрисковый» подход, опирающийся на непосредственное сравнение результата измерений (величины случайной) с нормативом (величиной детерминированной), например в виде x₀ ≤ x_доп. Добрая практика противоречит международным требованиям, изложенным, например, в разделах «Статистическая обработка данных по отбору проб» ряда стандартов и других нормативных актов. Вместе с тем необходимо учесть возможность неоднозначной формулировки задачи об оценке соответствия, что иллюстрирует рис. 2, где по оси абсцисс приведены значения экспериментальной оценки x=λ. На этом рисунке область 1, соответствующая малым значениям λ, позволяет принять гипотезу x₀ < x_доп; область 2 для больших λ — гипотезу x₀ > x_доп; а область 3 не противоречит гипотезе x₀ = x_доп. Более сложные области 4 и 5 соответствуют гипотезам x₀ ≤ x_доп и x₀ ≥ x_доп. Из рисунка видно, что на допустимое значение накладывается некоторый «коридор». Без четкого представления о том, каковы решающие правила для каждой из областей, принять правильное решение затруднительно. В этом случае в соответствии с известными положениями статистики возможны два решающих правила оценивания:

Данными выражениями определяется вероятность того, что неизвестное истинное значение x₀ окажется меньше или больше границ своего интервала, в котором x₀=x_доп. В первом случае нарушение установленных требований к контролируемым показателям отсутствует, но к этим показателям предъявляются повышенные требования. Во втором случае установленные требования нарушаются с высокой вероятностью. Невыгодны обе ситуации, которые могут возникнуть в практике, т. к. они создают экономические и социальные риски. При этом для области 1 на рис. 2 неизвестное истинное значение x₀ с большой вероятностью γ (экономический риск) меньше и только с малой вероятностью 1-γ (социальный риск) может быть больше допустимого значения.

При проверке статистических гипотез принято обозначать ошибкой первого рода вероятность α «забраковать удовлетворительный результат» (нулевая гипотеза), а ошибкой второго рода — вероятность β принять отрицательный результат за удовлетворительный (альтернативная гипотеза). Для расчета сопряженной величины необходимого при заданной точности оценки соответствия следует задать альтернативную гипотезу в виде x₀ = x_доп. Пусть плотность функции x при нулевой гипотезе имеет нормальное распределение с математическим ожиданием x₀ и дисперсией σ², а при альтернативной — с математическим ожиданием x₀ ± Δ и с той же дисперсией.

При односторонней гипотезе получим для точки x_доп + t_(1-y) S:

где U_1-α и U_β — табулированные квантили стандартного нормального распределения, например Вер(x ≤ U_β) = β. При этом относительная точность статистического решения будет:

В табл. 2 приведены некоторые результаты расчетов объема выборки n в зависимости от вероятностей α и β. К примеру: при объеме выборки n=44 принимается гипотеза x₀ = x_доп, а с вероятностью 0,05 номинальное значение может быть равно x₀ = x_доп + 0,5σ. Выбор в качестве x_доп точки x₀ соответствовал бы экологическому риску 50%, т.е. с вероятностью 0,5 случайные величины x_i могут быть как больше, так и меньше x_доп.

Для того чтобы обеспечить адекватные требования технического регулирования малые значения риска r, предельно допустимое значение контролируемого показателя должно удовлетворять такому условию, как, например:

где U_1-r — квантиль стандартного нормального распределения, некоторые численные значения которого приведены в табл. 3.

Как видно, квантиль повышается с уменьшением уровня риска, что по (1) означает повышение требований к безопасности и качеству продукции. Учитывая, что истинные значения x₀ и σ² неизвестны, оперируем их оценками x̂, S². Тогда условие (1) трансформируется в неравенство, которое выполняется лишь с некоторой доверительной вероятностью γ:

где табулированный коэффициент k > U_1-r отражает возможные погрешности оценок.

В табл. 4 приведены некоторые значения коэффициента k. Как видно, рассматриваемый коэффициент тем ближе к U_1-r, чем больше объем выборки. При этом требования к безопасности и качеству продукции снижаются; то же наблюдается при увеличении уровня риска и доверительной вероятности. Если бы были известны истинные значения математического ожидания x₀ и дисперсии σ², то в соответствии с табл. 3 для риска r=0,1: U_1-r=1,282. При неизвестных параметрах распределения и при объеме выборки n=50, а также при доверительной вероятности γ=0,9 получаем согласно табл. 4 для указанного риска k=1,916.

Заключение

Таким образом, корректная оценка соответствия качества продукции требует обработки достаточно большого объема экспериментальных данных, что органы государственного контроля и надзора или предприниматели со своими ограниченными ресурсами не всегда могут выполнить. Более того, выборочные измерения, выполненные, например, раз в день, могут лишь констатировать, находится показатель в допуске или вне допуска в данный момент, и ничего не гарантируют в промежутках между проведением контрольных измерений. Поэтому для корректного решения задачи оценки состава и свойств продукции необходимо оценивание рисков нарушения установленных требований различными статистическими методами.

Compliance assessment analytics

K.E. Malakhov, a leading geologist and hydrogeologist at Kintech LLC
Assessment of the compliance of controlled indicators with established requirements is an important part of information and analytical production support in various sectors of economic activity. This work, which necessarily includes taking into account the risks of violating established requirements, is most thoroughly carried out in the aerospace sector. In many industries, it is performed unsatisfactorily, in a risk-free mode, although errors related to the instability of controlled indicators are no less dangerous there, since unsatisfactory product quality carries risks of harm to the health of the population of entire regions.

Keywords: conformity assessment, controlled indicators, risks, statistical information, distribution law, confidence probability.